Rounding Voronoi Diagram

Computational geometry classically assumes real-number arithmetic which does not exist in actual computers. A solution consists in using integer coordinates for data and exact arithmetic for computations. This approach implies that if the results of an algorithm are the input of another, these results must be rounded to match this hypothesis of integer coordinates. In this paper, we treat the case of two-dimensional Voronoi diagrams and are interested in rounding the Voronoi vertices at grid points while interesting properties of the Voronoi diagram are preserved. These properties are the planarity of the embedding and the convexity of the cells, we give a condition on the grid size to ensure that rounding to the nearest grid point preserve the properties. We also present heuristics to round vertices (not to the nearest) and preserve these properties. Key-words: geometric computing, Voronoi diagram, integer coordinates, exact computations This work was partially supported by ESPRIT LTR GALIA Arrondi du diagramme de Voronoï Résumé : La géométrie algorithmique repose généralement sur l'utilisation de nombres exacts non représentables sur un ordinateur réel. Une solution consiste à utiliser des coordonnées entières et à faire du calcul exact sur celles-ci. Cette approche implique d'arrondir les résultats d'un algorithme si l'on veut pouvoir les réinjecter dans un autre algorithme. Dans ce rapport, le cas du diagramme de Voronoï bidimensionnel est abordé: on cherche à arrondir les sommets de Voronoï aux points d'une grille en conservant les propriétés intéressantes du diagramme, telles que la planarité du plongement et la convexité des cellules. On donne une condition sur le pas de la grille pour garantir que l'arrondi des sommets de Voronoï aux points de la grille les plus proches conserve ces propriétés. On présente également des heuristiques d'arrondi pour le cas où le pas de la grille fait que l'arrondi au plus proche ne respecte pas ces propriétés. Mots-clés : géométrie algorithmique, calcul géométrique, triangulation de Delaunay, diagramme de Voronoï, coordonnées entières, calcul exact Rounding Voronoi diagram 3